Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線的頂點為，直線與拋物線交于點(點在點的左側)．

（1）求點坐標；

（2）橫、縱坐標都是整數的點叫做整點．記線段及拋物線在兩點之間的部分圍成的封閉區域(不含邊界)記為．

①當時，結合函數圖象，直接寫出區域內的整點個數；

②如果區域內有2個整點，請求出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）A（a，0）；（2）①4；②

【解析】

（1）根據拋物線頂點坐標求法求解即可；

（2）①畫出圖像，根據圖像以及整點的概念求解即可；

②由①推出a＜0，分別求出有2個整點和3個整點時a的取值，再得出取值范圍.

解：（1）∵拋物線的解析式為：，

∴可得頂點坐標為：A（a，0）；

（2）①∵a=0，

∴拋物線表達式為：，

令，

解得：x1=，x2=，

∵，，

∴區域內的整點有（0，1），（0，2），（1，2），（1，3）共4個整點；

②由①可知當a=0時有4個整點，

當a＞0時，對稱軸在y軸右側，此時有更多整點，

∴a＜0，

∵拋物線的解析式為：，

∴拋物線的頂點在x軸，開口向上，

當拋物線在直線y=x+3左側且兩者相切時，沒有整點，

當拋物線向右平移時，第一個整點為（-1，1），代入拋物線，

，

解得：a=-2或0（舍），

第二個整點為（0，2），代入拋物線，

，

解得：a=（舍）或，

第三個整點為（0，1），代入拋物線，

，

解得：a=1（舍）或-1，

綜上：a的取值范圍是：.