Question

某農戶進行某種水產品的養殖和銷售，對歷年市場行情和水產品養殖情況進行了調查．調查發現這種水產品的每千克售價y（元）與銷售月份x（月）滿足關系式y=-2x+38（1≤x≤12，x取正整數），而其每千克成本p（元）與銷售月份x（月）滿足的函數關系如圖所示．
（1）試確定p與銷售月份x的函數關系式；
（2）“五•一”節之前，幾月份出售這種水產品每千克的利潤最大？最大利潤是多少？
（3）若第九月份的銷售量要在第八月份的基礎上增加a%，第九月份的售價要在歷年九月份市場行情售價基礎上增加0.2a%，才能滿足第八月份、第九月份這兩個月的銷售額持平，求a的值．（保留2個有效數字，參考數據：

37

≈6.082，

38

≈6.164）

Answer 1

分析：（1）利用待定系數法求出二次函數解析式即可解答；
（2）利用每千克的利潤=每千克售價-每千克成本列出二次函數解析式，進一步利用配方法解決問題；
（3）利用水產品的每千克售價×銷售量=銷售額，列出第八月份、第九月份這兩個月的銷售額，聯立方程解答即可．

解答：解：（1）∵p=x²+bx+c過（3，17），（4，10）兩點，
∴

17=9+3b+c 10=16+4b+c

，
解得

b=-14 c=50

，
∴p=x²-14x+50；

（2）設利潤為W，則W=y-p=（-2x+38）-（x²-14x+50）=-x²+12x-12=-（x-6）²+24，
∵a=-1＜0，對稱軸x=6，
∴在對稱軸的左邊W隨x的增大而增大．
∵x＜5，
∴當x=4時，
W_最大=-（4-6）²+24=20（元）；

（3）設8月份的銷售量是m千克，根據題意列方程得，
（-2×8+38）•m=m（1+a%）•（-2×9+38）•（1+0.2a%）
設a%=t，
∴2t²+12t-1=0，
∴t=

-12± 122+8

4

=

-12±2 38

4

=

-6± 38

2

，
∵

38

≈6.164，
∴t1=

-6+6.164

2

=0.082，t₂=-6.082（舍去），
∴a%=0.082，
∴a=8.2，
答：a的值是8.2．

點評：此題主要結合銷售中的基本數量關系：利潤=售價-成本，售價×銷售量=銷售額，列出函數解析式，利用配方法求最值，以及利用一元二次方程解決實際問題，是一道較好的綜合題．