Question

在△ABC中，AB=AC，D是直線BC上一點（不與點B、C重合），以AD為一邊在AD的右側作△ADE，AD=AE，∠DAE=∠BAC，連接CE．

（1）如圖1，當點D在線段BC上時，求證：△ABD≌△ACE．
（2）設∠BAC=α，∠BCE=β．
①如圖1，當點D在線段BC上時，則α，β之間有怎樣的數量關系？寫出證明過程；
②當點D在線段CB的延長線上時，則α，β之間有怎樣的數量關系？請在圖2中畫出完整圖形并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）首先求出∠BAD=∠CAE，再利用SAS得出△ABD≌△ACE即可；
（2）①利用△ABD≌△ACE，推出∠BAC+∠BCE=180°，根據三角形內角和定理求出即可；
②當D在CB的延長線上時，α=β，求出∠BAD=∠CAE．推出△ADB和△AEC，推出∠BAC=∠BCE．根據三角形外角性質求出即可．

解答：證明：（1）∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∵在△ABD和△ACE中，

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；

（2）①α+β=180°
理由：∵△ABD≌△ACE，
∴∠B=∠ACE，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=∠ACB+∠B，
∵∠BAC+∠B+∠ACB=180°，
∴∠BAC+∠BCE=180°，
即α+β=180°；

②當點D在線段CB的延長線上時，α=β．
理由：∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAB=∠EAC，
∵在△ADB和△AEC中，

AD=AE ∠DAB=∠EAC AB=AC

，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ABD=∠BAC+∠ACB，∠ACE=∠BCE+∠ACB，
∴∠BAC=∠BCE，
即α=β．

點評：本題考查了全等三角形的性質和判定，三角形的外角性質等知識點，題目比較典型，是一道證明過程類似的題目．