Question

（2010•江西模擬）如圖，△ABC中，∠C是直角，∠A=30°，BC=2，以點(diǎn)C為圓心，CB為半徑畫(huà)圓，交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E．
（1）求的長(zhǎng)度；
（2）過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC交圓于F點(diǎn)，寫(xiě)出EF與AC的關(guān)系，并證明你寫(xiě)出的關(guān)系．

Answer 1

【答案】分析：（1）要求的長(zhǎng)度，需連接CE．根據(jù)弧長(zhǎng)公式，只需求得∠DCE的度數(shù)．根據(jù)已知條件發(fā)現(xiàn)等邊三角形BCE，從而求解；
（2）分析EF與AC的關(guān)系，易得它們的位置關(guān)系是平行；結(jié)合30°的直角三角形的性質(zhì)和三角形的中位線定理、垂徑定理即可證明它們的數(shù)量關(guān)系是相等．
解答：解：（1）如圖，連接CE．
∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°．
∵CB=CE，
∴△CBE是等邊三角形，
∴∠ECA=30°．
∴==．

（2）EF與AC的關(guān)系有：EF∥AC，EF=AC．
證明如下：設(shè)EF與BC垂直，垂足是點(diǎn)O．
∵EF⊥BC，
∴∠EOB=90°，EO=EF．
∵∠C=90°，
∴EF∥AC．
∴∠BEF=∠A=30°，在Rt△EOB中，BO=BE=BC．
∵EF∥AC，
∴EO=AC，
∵EO=EF，
∴EF=AC．
點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)、弧長(zhǎng)公式、直角三角形的性質(zhì)和三角形的中位線定理．