Question

【題目】在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,AC= 6cm, AB= 12cm,點P 從A出發沿AC向C點以1cm/s的速度勻速移動;點Q從C出發沿CB向B點以cm/s的速度勻速移動，點P、Q分別從起點同時出發，移動到某一位置時所需時間為t秒;點0為AB的中點。

(1)當t=2時，求線段PQ的長度;

(2) 連接OC,當PQ⊥0C時，求出t的值;

(3)連結PO，PQ,是否存在t的值，使△OPQ成為以PQ為斜邊的直角三角形?若存在，求出t的值;若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）；

（2）；

（3）存在，.

【解析】

（1）用運動時間是2秒，求出PC，CQ再用勾股定理求解即可；
（2）由直角三角形的性質，判斷出∠ACO=60°，結合PQ⊥OC得出∠CPQ=30°，利用三角函數求解即可；
（3）利用直角三角形的性質和中位線，得出∠PON=∠MOQ，再用等角的正切值相等建立方程，分兩種情況討論計算即可．

解：∵點P從A出發沿AC向C點以1cm/s的速度勻速移動，
∴AP=t，
∴CP=6-t，
∵點Q從C出發沿CB向B點以cm/s的速度勻速移動，
∴ ，
（1）當t=2時，PC=4，CQ=，
∵∠ACB=90°，
根據勾股定理得， ，
（2）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，AB=12cm，
∴∠B=30°，∠A=60°，BC= ，
∵點O為AB中點，
∴OA=OC，
∴∠ACO=60°，
設OC和PQ的交點為D，
∴PQ⊥OC，
∴∠PDC=90°，
∴∠CPQ=30°，
在Rt△PCQ中， ，
∴，
（3）存在，如圖

過點O作ON⊥AC，OM⊥BC，
∵點O是AB中點，
∴，，，
∵△OPQ成為以PQ為斜邊的直角三角形，
∴∠PON=∠MOQ，
∴，
∵，，

∴

① 當時，，，

∴
∴，

② 當時，

，，
∴ ，
∴（舍），此種情況不存在；
即：存在，時，△OPQ成為以PQ為斜邊的直角三角形．