Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（4，0），點(diǎn)B（0，3）．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度向右平移，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度向右平移，又P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)．
（1）連接AQ，當(dāng)△ABQ是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)P、Q運(yùn)動(dòng)到某個(gè)位置時(shí)，如果沿著直線AQ翻折，點(diǎn)P恰好落在線段AB上，求這時(shí)∠AQP的度數(shù)．

Answer 1

解：（1）根據(jù)題意，可得：A（4，0）、B（0，3）、AB=5，
ⅰ）當(dāng)∠BAQ=90°時(shí)，△AOB∽△BAQ，

∴，解得．
ⅱ）當(dāng)∠BQA=90°時(shí)，BQ=OA=4，
∴Q或（4，3）；

（2）設(shè)點(diǎn)P翻折后落在線段AB上的點(diǎn)E處，

則∠EAQ=∠PAQ，∠EQA=∠PQA，AE=AP，QE=QP，
又BQ∥OP，
∴∠PAQ=∠BQA，
∴∠EAQ=∠BQA，
即AB=QB=5，
∴，
∴，即點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)．
過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BQ，垂足為點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥OP，垂足為點(diǎn)H，則，，
∴EF=PH，
又EQ=PQ，∠EFQ=∠PHQ=90°，
∴△EQF≌△PHQ，
∴∠EQF=∠PQH，
從而∠PQE=90°，
∴∠AQP=∠AQE=45°．
分析：（1）分∠BAQ=90°和∠BQA=90°兩種情況討論，前者利用△AOB∽△BAQ，得出BQ=，后者可根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到BQ=OA=4，從而求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)E作EF⊥BQ，垂足為點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥OP，垂足為點(diǎn)H，根據(jù)翻折不變性及BQ∥OP，得到△EQF≌△PHQ，從而得到∠EQF=∠PQH，又因?yàn)椤螾QE=90°故∠AQP=∠AQE=45°．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，同時(shí)涉及翻折不變性及線段的中點(diǎn)，解答時(shí)要靈活運(yùn)用分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想．