Question

（2001•嘉興）如圖，已知正方形ABCD，直線AG分別交BD，CD于點E、F，交BC的延長線于點G，點H是線段FG上的點，且HC⊥CE，
（1）求證：點H是GF的中點；
（2）設，，請用含x的代數式表示y．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知證得△ADE≌△CDE，得到∠DAE=∠DCE，再由同角和等角的余角相等得到∠HCG=∠FGC，∠HCD=∠HFC，故有FH=CH=GH，即H是GF的中點；
（2）過點E作EM⊥CD于M，由于y==+=+，由于AD∥BG，得=由比例的性質求得用含x的代數式表示的值，代入前式即可．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥BG，
∴∠DAG=∠AGB，
∵AD=DC，∠ADB=∠CDB，
∴△ADE≌△CDE，（SAS）
∴∠DAE=∠DCE，
∵∠ECD+∠DCH=90°，∠DCH+∠GCH=90°，
∴∠ECD=∠GCH，
∵∠DAG=∠BGA，∠DAE=∠DCE，
∴在Rt△GCF中∠HCG=∠FGC，
∴∠HCD=∠HFC，
∴FH=CH=GH，即H是GF的中點；

（2）解：過點E作EM⊥CD于M，則有y==+=+，
∵AD∥BG，
∴=，
∴=，
∴=，
又∵==，
∴==，
∴y=+=．
點評：本題考查正方形的性質，全等三角形的判定和性質等知識點的綜合運用．