Question

16、如圖，△ABC中，∠ABC=90°，AB=AC，D是△ABC內一點，且AB=BD，CD=AD，則∠ABD的度數為

30°

．

Answer 1

分析：此題應先作輔助線，作作BM⊥AD于M，再BM上截取BN，使BN=AD．先證△ABN≌△CAD，得到，AN=BN=AD．然后證△ABN≌△DBN，得出△AND是等邊三角形，最后求出∠ABD的度數．

解答：解：作BM⊥AD于M，再BM上截取BN，使BN=AD．
∴∠ABN+∠BAM=90°，
又∠CAD+∠BAM=∠BAC=90°（已知），
∴∠ABN+∠BAM=∠CAD+∠BAM（等量代換），
∴∠ABN=∠CAD，
所以在△ABN和△CAD中，
AB=AC（已知），BN=AD（截取）
∠ABN=∠CAD（已證）
∴△ABN≌△CAD（邊角邊）．
∴AN=CD，∠BAN=∠ACD，
又已知AD=CD（已知）
∴∠CAD=∠ACD，
∴∠ABN=∠BAN（等量代換）
∴AN=BN=AD．
∵AB=BD（已知），BM⊥AD（作圖），
∴∠ABN=∠DBN（等腰三角形的性質）
∴△ABN≌△DBN（邊角邊），
∴DN=AN，
∴DN=AN=AD，
∴△AND是等邊三角形．
∴∠NAD=60°．
∠ABN+∠BAN+∠NAD=90°
∴∠ABN+∠ABN+60°=90°
∴∠ABN=15°即得到∠DBN=15°．
∴∠ABD=∠ABN+∠DBN=30°．
故答案為：30°

點評：此題考查的知識點是等腰直角三角形和等腰三角形的性質，解答此題的關鍵是先作輔助線，作作BM⊥AD于M，再BM上截取BN，使BN=AD．此題較難．