Question

已知：如圖，過正方形ABCD的頂點A作一條直線，分別交BD、CD、BC的延長線于E、F、G．求證：
（1）∠DAF=∠DCE；
（2）CE與△CGF的外接圓⊙O相切．

Answer 1

解：（1）∵BD是正方形ABCD的對角線，
∴∠ADE=∠CDE=45°，
在△ADE和△CDE中，
AD=CD，∠ADE=∠CDE，DE=DE，
∴△ADE≌△CDE，
∴∠DAE=∠DCE，既∠ADF=∠DCE；

（2）∵∠GCF=90°，
∴△CGF是直角三角形，
∴△CGF的外接圓的圓心O為GF的中點，
連接OC，∵OC=OF，
∴∠OCF=∠OFC=∠AFD，
∵△ADE≌△CDE，
∴∠DAF=∠FCE，
∴∠OCF+∠FCE=∠AFD+∠DAF=90°，
∴∠OCE=90°，
∴CE與△CGF的外接圓⊙O相切．
分析：（1）由BD為正方形的對角線，根據正方形對角線的性質得到∠ADE與∠CDE相等都等于45°，然后由AD=DC，∠ADE=∠CDE，DE為公共邊，利用“SSS”得到△ADE和△CDE全等，根據全等三角形的對應角相等得到∠DAE=∠DCE，即為∠DAF=∠DCE；
（2）由∠GCF為直角，得到三角形CGF為直角三角形，所以此三角形的外接圓的圓心為直角三角形斜邊GF的中點，連接OC，根據半徑OC=OF，根據等邊對等角及對頂角相等得到∠OCF=∠OFC=∠AFD，根據三角形AED與三角形CFD全等，得到角DAF與角FCD相等，等量代換后得到角OCE為90°，根據切線的判斷方法即可得到CE為圓O的切線．
點評：此題綜合考查了正方形，圓的切線性質與判斷，三角形外接圓的特點．證明切線的方法有兩種：第一種有點連接證明證垂直；第二種無點過圓心作垂直證垂線段長等于圓的半徑．