Question

如圖，在平面直角坐標系中有Rt△ABC，∠A=90°，AB=AC，A（-2，0）、B（0，1）、C（d，2）．
（1）求d的值；
（2）將△ABC沿x軸的正方向平移，在第一象限內B、C兩點的對應點B′、C′正好落在某反比例函數圖象上．請求出這個反比例函數和此時的直線B′C′的解析式；
（3）在（2）的條件下，直線BC交y軸于點G．問是否存在x軸上的點M和反比例函數圖象上的點P，使得四邊形PGMC′是平行四邊形？如果存在，請求出點M和點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）過C作CN垂直于x軸，交x軸于點N，由A、B及C的坐標得出OA，OB，CN的長，由∠CAB=90°，根據平角定義得到一對角互余，在直角三角形ACN中，根據兩銳角互余，得到一對角互余，利用同角的余角相等得到一對角相等，再由一對直角相等，且AC=BC，利用AAS得到三角形ACN與三角形AOB全等，根據全等三角形的對應邊相等可得出CN=0A，AN=0B，由AN+OA求出ON的長，再由C在第二象限，可得出d的值；
（2）由第一問求出的C與B的橫坐標之差為3，根據平移的性質得到縱坐標不變，故設出C′（m，2），則B′（m+3，1），再設出反比例函數解析式，將C′與B′的坐標代入得到關于k與m的兩方程，消去k得到關于m的方程，求出方程的解得到m的值，即可確定出k的值，得到反比例函數解析式，設直線B′C′的解析式為y=ax+b，將C′與B′的坐標代入，得到關于a與b的二元一次方程組，求出方程組的解得到a與b的值，即可確定出直線B′C′的解析式；
（3）存在x軸上的點M和反比例函數圖象上的點P，使得四邊形PGMC′是平行四邊形，理由為：設Q為GC′的中點，令第二問求出的直線B′C′的解析式中x=0求出y的值，確定出G的坐標，再由C′的坐標，利用線段中點坐標公式求出Q的坐標，過點Q作直線l與x軸交于M′點，與y=的圖象交于P′點，若四邊形P′G M′C′是平行四邊形，則有P′Q=Q M′，易知點M′的橫坐標大于，點P′的橫坐標小于，作P′H⊥x軸于點H，QK⊥y軸于點K，P′H與QK交于點E，作QF⊥x軸于點F，由兩直線平行得到一對同位角相等，再由一對直角相等及P′Q=QM′，利用AAS可得出△P′EQ與△QFM′全等，根據全等三角形的對應邊相等，設EQ=FM′=t，由Q的橫坐標-t表示出P′的橫坐標，代入反比例函數解析式確定出P′的縱坐標，進而確定出M′的坐標，根據P′H-EH=P′H-QF表示出P′E的長，又P′Q=QM′，分別放在直角三角形中，利用勾股定理列出關于t的方程，求出方程的解得到t的值，進而確定出P′與M′的坐標，此時點P′為所求的點P，點M′為所求的點M．
解答：解：（1）作CN⊥x軸于點N，
∵A（-2，0）、B（0，1）、C（d，2），
∴OA=2，OB=1，CN=2，
∵∠CAB=90°，即∠CAN+∠BAO=90°，
又∵∠CAN+∠ACN=90°，
∴∠BAO=∠ACN，
在Rt△CNA和Rt△AOB中，
∵，
∴Rt△CNA≌Rt△AOB（AAS），
∴NC=OA=2，AN=BO=1，
∴NO=NA+AO=3，又點C在第二象限，
∴d=-3；

（2）設反比例函數為y=（k≠0），點C′和B′在該比例函數圖象上，
設C′（m，2），則B′（m+3，1），
把點C′和B′的坐標分別代入y=，得k=2m；k=m+3，
∴2m=m+3，
解得：m=3，
則k=6，反比例函數解析式為y=，點C′（3，2），B′（6，1），
設直線C′B′的解析式為y=ax+b（a≠0），
把C′、B′兩點坐標代入得：
，
∴解得：；
∴直線C′B′的解析式為y=-x+3；


（3）存在x軸上的點M和反比例函數圖象上的點P，使得四邊形PGMC′是平行四邊形，理由為：
設Q是G C′的中點，令y=-x+3中x=0，得到y=3，
∴G（0，3），又C′（3，2），
∴Q（，），
過點Q作直線l與x軸交于M′點，與y=的圖象交于P′點，
若四邊形P′G M′C′是平行四邊形，則有P′Q=Q M′，
易知點M′的橫坐標大于，點P′的橫坐標小于，
作P′H⊥x軸于點H，QK⊥y軸于點K，P′H與QK交于點E，作QF⊥x軸于點F，
∵QF∥P′E，
∴∠M′QF=∠QP′E，
在△P′EQ和△QFM′中，
∵，
∴△P′EQ≌△QFM′（AAS），
∴EQ=FM′，P′Q=QM′，
設EQ=FM′=t，
∴點P′的橫坐標x=-t，點P′的縱坐標y=2•y_Q=5，點M′的坐標是（+t，0），
∴P′在反比例函數圖象上，即5（-t）=6，
解得：t=，
∴P′（，5），M′（，0），
則點P′為所求的點P，點M′為所求的點M．
點評：此題屬于反比例函數綜合題，涉及的知識有：全等三角形的判定與性質，勾股定理，坐標與圖形性質，利用待定系數法求函數解析式，平移的性質，是一道綜合性較強的試題，要求學生掌握知識要全面．