Question

（2003•金華）如圖所示，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，點P從A點出發，沿著AB以每秒4cm的速度向B點運動；同時點Q從C點出發，沿CA以每秒3cm的速度向A點運動，設運動時間為x．
（1）當x為何值時，PQ∥BC；
（2）當，求的值；
（3）△APQ能否與△CQB相似？若能，求出AP的長；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）當PQ∥BC時，根據平行線分線段成比例定理，可得出關于AP，PQ，AB，AC的比例關系式，我們可根據P，Q的速度，用時間x表示出AP，AQ，然后根據得出的關系式求出x的值．
（2）我們先看當時能得出什么條件，由于這兩個三角形在AC邊上的高相等，那么他們的底邊的比就應該是面積比，由此可得出CQ：AC=1：3，那么CQ=10cm，此時時間x正好是（1）的結果，那么此時PQ∥BC，由此可根據平行這個特殊條件，得出三角形APQ和ABC的面積比，然后再根據三角形PBQ的面積=三角形ABC的面積-三角形APQ的面積-三角形BQC的面積來得出三角形BPQ和三角形ABC的面積比．
（3）本題要分兩種情況進行討論．已知了∠A和∠C對應相等，那么就要分成AP和CQ對應成比例以及AP和BC對應成比例兩種情況來求x的值．
解答：解：（1）由題意得，PQ平行于BC，則AP：AB=AQ：AC，AP=4x，AQ=30-3x
∴=
∴x=

（2）∵S_△BCQ：S_△ABC=1：3
∴CQ：AC=1：3，CQ=10cm
∴時間用了秒，AP=cm，
∵由（1）知，此時PQ平行于BC
∴△APQ∽△ABC，相似比為，
∴S_△APQ：S_△ABC=4：9
∴四邊形PQCB與三角形ABC面積比為5：9，即S_{四邊形PQCB}=S_△ABC，
又∵S_△BCQ：S_△ABC=1：3，即S_△BCQ=S_△ABC，
∴S_△BPQ=S_{四邊形PQCB}-S_△BCQ═S_△ABC-S_△ABC=S_△ABC，
∴S_△BPQ：S_△ABC=2：9=

（3）假設兩三角形可以相似
情況1：當△APQ∽△CQB時，CQ：AP=BC：AQ，即有=解得x=，
經檢驗，x=是原分式方程的解．
此時AP=cm，
情況2：當△APQ∽△CBQ時，CQ：AQ=BC：AP，即有=解得x=5，
經檢驗，x=5是原分式方程的解．
此時AP=20cm．
點評：本題主要考查了相似三角形的判定和性質，根據三角形相似得出線段比或面積比是解題的關鍵．