Question

已知反比例函數(shù)y=

k

x

圖象過(guò)第二象限內(nèi)的點(diǎn)A（-2，m）AB⊥x軸于B，Rt△AOB面積為3，若直線y=ax+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，并且經(jīng)過(guò)反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上另一點(diǎn)C（n，-

3

2

）．
（1）求反比例函數(shù)和直線解析式
﹙2）求△AOC的面積．
（3）求不等式ax+b-

k

x

＞0的解集（請(qǐng)直接寫(xiě)出答案）
（4）在x軸上是否存在一點(diǎn)P，以AO為腰使△PAO為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)反比例函數(shù)的圖象在二、四象限判斷出k的符號(hào)，再由Rt△AOB面積為3即可得出k的值，進(jìn)而得出反比例函數(shù)的解析式；由A、C兩點(diǎn)均在反比例函數(shù)的圖象上求出m、n的值，故可得出A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，把A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線y=ax+b即可得出a、b的值，進(jìn)而得出直線的解析式；
（2）由直線AC的解析式得出M點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)S_△AOC=S_△AOM+S_△COM即可得出結(jié)論；
（3）把原不等式化為ax+b＞

k

x

的形式，由AC兩點(diǎn)的坐標(biāo)可直接得出不等式的解集；
（4）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0），利用兩點(diǎn)間的距離公式即可得出x的值，進(jìn)而得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵反比例函數(shù)y=

k

x

圖象在二、四象限，
∴k＜0，
∵Rt△AOB面積為3，
∴k=-6，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y=-

6

x

；
∵A、C兩點(diǎn)均在反比例函數(shù)的圖象上，
∴（-2）×m=-6，（-

3

2

）×n=-6，解得m=3，n=4，
∴A（-2，3），C（4，-

3

2

），
∵A、C兩點(diǎn)均在一次函數(shù)y=ax+b的圖象上，
∴

-2a+b=3 4a+b=- 3 2

，
解得

a=- 3 4 b= 3 2

．
∴直線的解析式為：y=-

3

4

x+

3

2

；

（2）∵當(dāng)y=0時(shí)，-

3

4

x+

3

2

=0，
解得x=2，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，0），
∴OM=2，
∵A（-2，3），C（4，-

3

2

），
S_△AOC=S_△AOM+S_△COM
=

1

2

×2×3+

1

2

×2×

3

2

=3+

3

2

=4.5；

（3）原不等式化為ax+b＞

k

x

的形式，
∵A（-2，3），C（4，-

3

2

），
∴由函數(shù)圖象可知，當(dāng)x＜-2或0＜x＜4時(shí)，一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)圖象的上方，
∴當(dāng)x＜-2或0＜x＜4時(shí)，ax+b-

k

x

＞0；

（4）設(shè)P（x，0），
當(dāng)OA=OP時(shí)，

(-2)2+32

=|x|，解得x=±

13

，
此時(shí)P（

13

，0）或（-

13

，0）；
當(dāng)OA=AP時(shí)，

(-2)2+32

=

(-2-x)2+32

，解得x=-4或x=0（舍去），
故此時(shí)P（-4，0）．
綜上所述P₁（

13

，0），P₂（-

13

，0），P₃（-4，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，根據(jù)題意得出A、C的坐標(biāo)是解答此題的關(guān)鍵．