Question

如圖，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，∠C=60°，AD=3cm，BC=9cm，圓O₁的圓心O₁從點A開始沿A→D→C折線以1cm/s的速度向點C運動，⊙O₂的圓心O₂從點B開始沿BA邊以cm/s的速度向點A運動，如果圓O₁的半徑為2cm，圓O₂的半徑為4cm，O₁、O₂分別從點A、B同時出發，運動時間為ts。

（1）求出⊙O₂與CD相切時t的值；
（2）在O<t≤3范圍內，t為何值時，圓O₁與圓O₂外切？

Answer 1

解：（1）設ts時點O2運動到E點，⊙O2與CD相切于F，如圖，連結EF，過點E作EG∥BC，交CD于G，則EF⊥CD，EF=4，∠EGF=∠C=60°，∴EG=，過點G作GH⊥BC于H，則HC=9-，HG=CH·tan60°=-8，； （2））∵O<t≤3，則O1在AD上，連結O1O2，⊙O1與⊙O2相切，則O1O2=6，在Rt△O1O2A中，AO1=t，AO2=AB-BO2=6一t，且AO12+AO22=O1O22，即，∴t=3或t=6（舍），∴t=3時，，⊙O1與⊙O2外切。