Question

如圖，在平面直角坐標系中，以點C（1，1）為圓心，2為半徑作圓，交x軸于A，B兩點．
（1）求出A，B兩點的坐標；
（2）有一開口向下的拋物線y=a（x-h）²+k經過點A，B，且其頂點在⊙C上．試確定此拋物線的表達式．

Answer 1

分析：（1）本題需先過點C作CD⊥AB，得出CA、CB的值后，即可得出DB、DA的值，最后求出A，B兩點的坐標．
（2）本題需先延長DC，交⊙C于點P，得出P為拋物線的頂點，并求出它的坐標，再設出拋物線的表達式，得出a的值，從而得出此拋物線的解析式．

解答：解：（1）過點C作CD⊥AB，垂足為D，
則CD=1，CA=CB=2，
∴DB=DA=

3

．
點A（1-

3

，0），點B（

3

+1，0）；

（2）延長DC，交⊙C于點P．
由題意可知，P為拋物線的頂點，并可求得點P（1，3），
∴h=1，k=3，
設此拋物線的表達式為y=a（x-1）²+3，
又∵拋物線過點B（

3

+1，0），則0=a(

3

+1-1)2+3，
得a=-1，
所以此拋物線的解析式為y=-（x-1）²+3=-x²+2x+2．

點評：本題主要考查了二次函數綜合問題，在解題時要把拋物線的圖象和性質與圓的性質相結合是本題的關鍵．