Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A、B是x鈾上的兩點(diǎn)，C是y軸上的一點(diǎn)．∠ACB=90°，∠CAB=30°，AO、BO為直徑的半圓分別交AC、BC于E、F兩點(diǎn)，若C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，4）．
（1）求圖象過A、B、C三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式；
（2）求圖象過點(diǎn)E、F的一次函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數(shù)易得OA，OB長，得到A，B坐標(biāo)，運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；
（2）連接OE，作EM⊥x軸于點(diǎn)M．利用三角函數(shù)可得點(diǎn)E坐標(biāo)，同法求得F坐標(biāo)，代入一次函數(shù)解析式即可．

解答：解：（1）由題意得OC=4．
∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，
∴OA=4

3

，A（-4

3

，0）．
同理可得B（

4 3

3

，0）．
設(shè)二次函數(shù)解析式為y=ax²+bx+c，
則48a-4

3

b+c=0，

16

3

a+

4 3

3

b+c=0，
c=4．
解得a=-0.25，b=

2

3

3

．
故二次函數(shù)解析式為y=-0.25x²+

2 3

3

x+4；

（2）連接OE，作EM⊥x軸于點(diǎn)M．
∵∠AEO=90°，∠CAB=30°，
∴OE=2

3

，∠AOE=60°．
∴OM=

3

，EM=3，
那么E（-

3

，3），同法可得F（

3

，1）．
設(shè)過EF的直線解析式為y=kx+b．
那么-

3

k+b=3；

3

k+b=1．
解得k=-

3

3

，b=2．
那么y=-

3

3

x+2．
故圖象過點(diǎn)E、F的一次函數(shù)的解析式為y=-

3

3

x+2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，關(guān)鍵是利用特殊三角函數(shù)值求得相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)．