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【題目】已知:RtA′BC′RtABC,A′C′B=ACB=90°,A′BC′=ABC=60°,RtA′BC′可繞點B旋轉,設旋轉過程中直線CC′和AA′相交于點D.

(1)如圖1所示,當點C′在AB邊上時,判斷線段AD和線段A′D之間的數量關系,并證明你的結論;

(2)將RtA′BC′由圖1的位置旋轉到圖2的位置時,(1)中的結論是否成立?若成立,請證明;若不成立,請說明理由;

(3)將RtA′BC′由圖1的位置按順時針方向旋轉α角(0°≤α≤120°),當A、C′、A′三點在一條直線上時,請直接寫出旋轉角的度數.

【答案】(1)AD=A′D(2)仍然成立:AD=A′D(3)60°

【解析】

試題分析:(1)易證BCCBAA都是等邊三角形,從而可以求出ACD=BAD=60°DCA=DAC=30°,進而可以證到AD=DC=AD.

(2)解答中提供了兩種方法,分別利用相似與全等,證明所得的結論.

(3)當A、C、A三點在一條直線上時,有ACB=90°,易證RtACBRtACB (HL),從而可以求出旋轉角α的度數.

試題解析:答:(1)AD=A′D.

證明:如圖1,

RtABC′≌RtABC,

BC=BC,BA=BA

∵∠ABC=ABC=60°

∴△BCCBAA都是等邊三角形.

∴∠BAA=BCC=60°

∵∠A′C′B=90°,

∴∠DC′A′=30°.

∵∠AC′D=BC′C=60°,

∴∠ADC′=60°.

∴∠DA′C′=30°.

∴∠DAC′=DC′A,DC′A′=DA′C′.

AD=DC′,DC′=DA′.

AD=A′D.

(2)仍然成立:AD=A′D.

證法一:利用相似.如圖2﹣1.

由旋轉可得,BA=BA′,BC=BC′,CBC′=ABA′

∵∠1=(180°﹣ABA′),3=(180°﹣CBC′)

∴∠1=3.

設AB、CD交于點O,則AOD=BOC

∴△BOC∽△DOA.

∴∠2=4,

連接BD,

∵∠BOD=COA,

∴△BOD∽△COA.

∴∠5=6.

∵∠ACB=90°,

∴∠2+5=90°.

∴∠4+6=90°,即ADB=90°.

BA=BA′,ADB=90°,

AD=A′D.

證法二:利用全等.如圖2﹣2.

過點A作AEA′C′,交CD的延長線于點E,則1=2,E=3.

由旋轉可得,AC=A′C′,BC=BC′,

∴∠4=5.

∵∠ACB=A′C′B=90°,

∴∠5+6=3+4=90°,

∴∠3=6.

∴∠E=6,AE=AC=AC

ADE與ADC中,

∴△ADE≌△ADC(ASA),

AD=A′D.

(3)當A、C′、A′三點在一條直線上時,如圖3,

則有ACB=180°﹣∠ACB=90°

在RtACB和RtACB中,

RtACBRtACB (HL).

∴∠ABC=ABC=60°

當A、C′、A′三點在一條直線上時,旋轉角α的度數為60°.

練習冊系列答案
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①CE=CF

線段EF的最小值為

AD=2時,EF與半圓相切;

若點F恰好落在B C上,則AD=

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(2)把折線統計圖補充完整;

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1

2

3

4

5

6

7

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9

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20

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28

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30

(1)在日歷上任意圈出一個豎列上相鄰的3個數;

設中間的一個數為,則另外的兩個數為

若已知這三個數的和為42,則這三天都在星期

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解:(1)解方程x2-10x+16=0得x12x28

∴B20)、C08

∴所求二次函數的表達式為y=-x2x8

(2)∵AB=8,OC=8,依題意,AE=m,則BE=8-m,

∵OA6OC8∴AC10.

∵EF∥AC, ∴△BEF∽△BAC.

.  即. ∴EF.

過點F作FG⊥AB,垂足為G,

sin∠FEGsin∠CAB.∴. 

∴FG·8m.

∴SSBCESBFE

0m8

點睛:本題考查了一元二次方程的解法,待定系數法求函數關系系,相似三角形的判定與性質,span>銳角三角函數的定義,割補法求圖形的面積,熟練掌握待定系數法求二次函數關系式、相似三角形的判定與性質是解答本題的關鍵.

型】解答
束】
23

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(2)如圖(3),在RtCDE的運動過程中,當CE經過點B時,求BC的長.

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