Question

已知Rt△AOB，其中∠AOB=90°，OA=6，OB=8．將該紙片放置在平面直角坐標系中，折疊該紙片，折痕與邊OB交于點C，與邊AB交于點D．
（1）如圖（1），若折疊后使點B與點O重合，則點D的坐標為______；
（2）如圖（2），若折疊后使點B與點A重合，求點C的坐標；
（3）如圖（3），若折疊后點B落在邊OA上的點為B′，是否存在點B′，使得四邊形BCB′D是菱形？若存在，請說明理由并求出菱形的邊長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）A是直線AB的中點，則D的坐標即可求解；
（2）折疊后使點B與點A重合，則C在AB的中垂線上，Rt△AOC中利用勾股定理即可得到方程，求得C的坐標；
（3）當B'C∥AB（或B'D∥BO）時，四邊形BCB'D是菱形，則△OB'C∽△OAB，依據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等即可求得B′C的長度，然后根據(jù)△AB'D∽△AOB，即可求得B′D的長．從而證得B'C=BC=B'D=BD．
解答：解：（1）∵OA=6，OB=8
∴A的坐標是（6，0），B的坐標是（0，8），
D是AB的中點，則坐標是：（3，4）；
（2）設(shè)C（0，m），（m＞0），
則CO=m，
BC=AC=（8-m），
在Rt△AOC中，有（8-m）²-m²=36，
整理得，16m=28，
∴，
∴C（0，）；
（3）存在，當B'C∥AB（或B'D∥BO）時，四邊形BCB'D是菱形，
∵∠AOB=90°，OA=6，OB=8，∴AB=10，
∵B'C∥AB，∴△OB'C∽△OAB，∴，
設(shè)B'C=BC=x，則，
解得，，
∵B'C∥AB，
∴∠CBD+∠BCB'=180°，
又∵∠CBD=∠CB'D，∴∠CB'D+∠BCB'=180°，
∴B'D∥BO，
∴△AB'D∽△AOB，
∴，
設(shè)B'D=BD=y，
∴，
解得：，
∴B'C=BC=B'D=BD，
∴四邊形BCB'D是菱形，
∴存在點B'，使得四邊形BCB'D是菱形，此時菱形的邊長為．
點評：本題是勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用．