Question

如圖所示．矩形ABCD中，F在CB延長線上，且BF=BC，E為AF中點，CF=CA．求證：BE⊥DE．

Answer 1

分析：連接BD，EO，證明AF=AC，根據AC=CF得△ACF為等邊三角形，進而求證EO=BO=DO，根據E在以BD為直徑的圓上，根據圓周角定理即可求得∠BED=90°，即BE⊥DE．

解答：證明：連接BD，EO
∵BF=BC
∴B為CF的中點，
∵AB⊥CF，∴△AFC為等腰三角形，即AF=AC，
又∵CF=CA，∴△AFC為等邊三角形，
∵E、O分別為AF、AC的中點，
∴EO=

1

2

CF=

1

2

BD，
即EO=BO=DO，即BD邊上的中線為BD的一半，
△BDE為直角三角形，即∠BED=90°，
∴BE⊥DE．

點評：本題考查了斜邊中線長是斜邊長的一半的性質，考查了等邊三角形各邊長相等的性質，考查了中位線定理，本題中求證EO=DO=BO是解題的關鍵．