Question

如圖，△ABC中，以AB為直徑的⊙O交AC于D，交BC于E，已知CD=AD．
（1）求證：AB=CB；
（2）過點D作出⊙O的切線；（要求：用尺規作圖，保留痕跡，不寫作法）
（3）設過D點⊙O的切線交BC于H，DH=，tanC=3，求⊙O的直徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據垂直平分線的性質即可得出AB=BC；
（2）根據切線的性質，過點D作BC的垂直線或作O、D連線的垂線即可；
（3）根據相似三角形的判定與性質得出，△CHD∽△CDB，=，進而求出即可．
解答：（1）證明：如圖1，連結BD．
∵點D在以AB為直徑的圓上，
∴AD⊥BD．
又∵CD=BD，
∴AB=AC．

（2）解：如圖1所示：
（過點D作BC的垂直線或作O、D連線的垂線）；

（3）解：連結OD，BD．
∵CD=AD，AO=BO，
∴OD是△ABC的中位線．∴OD∥BC．
∵過點D的直線與⊙O相切，
∴OD⊥DH．
∵OD∥AC，
∴DH⊥BC．
在Rt△DHC中，
∵DH=，tanC=3，
∴CH=，CD=，
∵∠C=∠C，∠CDH=∠CDB=90°，
∴△CHD∽△CDB，
∴=，
∴=，
解得：BC=5，
即AB=5，
∴⊙O的直徑為5．
點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質以及切線的性質和垂直平分線的性質等知識，熟練利用切線的性質定理得出是解題關鍵．