Question

如圖，已知在⊙O的半徑為6．D為弦BC的中點，A為BO延長線上一點，F為AC上一點．連BF交AD于E，BE=AC．
（1）若BC=5，求點O到BC的距離；
（2）求證：AF=EF．

Answer 1

分析：（1）連接OD，根據D是BC的中點可知OD⊥BC，在Rt△BOD中利用勾股定理即可求出OD的長；
（2）根據點D是BC的中點，延長AD到點G，得到△ADC≌△GDB，利用全等三角形的對應角相等，對應邊相等進行等量代換，得到△AEF中的兩個角相等，然后用等角對等邊證明AE等于EF．

解答：解：（1）連接OD，
∵D為弦BC的中點，
∴OD⊥BC，BD=

1

2

BC=

1

2

×5=

5

2

，
在Rt△OBD中，
OD=

OB2-BD2

=

62-( 5 2 )2

=

119

2

；

（2）延長AD到點G，使得DG=AD，連接BG，
∵BD=DC，
∴△ADC≌△GDB，
∴∠CAD=∠G，BG=AC
又∵BE=AC，
∴BE=BG，
∴∠BED=∠G，
∵∠BED=∠AEF，
∴∠AEF=∠CAD，
即：∠AEF=∠FAE，
∴AF=EF．

點評：本題考查的是垂徑定理，勾股定理及全等三角形的判定與性質，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形及全等三角形是解答此題的關鍵．