Question

已知：如圖，點P是半徑為5cm的⊙O外的一點，OP=13cm；PT切⊙O于T點，過P點作⊙O的割線PAB（PB＞PA）．設PA=x，PB=y．
（1）求y關于x的函數解析式，并確定自變量x的取值范圍；
（2）這個函數有最大值嗎？若有，求出此時△PBT的面積；若沒有，請說明理由；
（3）是否存在這樣的割線PAB，使得S_△PAT=S_△PBT？若存在，請求出PA的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接圓心和切線，求得切線長，利用切割線定理可求得y關于x的函數解析式．
（2）根據自變量的取值，求得函數的最值，進而求得面積．
（3）利用相似三角形的面積來求得相應的對應邊的長．
解答：解：（1）連接OT；
∵PT切⊙O于T點，
∴∠OTP=90°，
∵OP=13cm，OT=5cm，
∴PT=12；
∵PT為切線，
∴PT²=PA×PB，
∴xy=144，
∴y=（8≤x≤12）．

（2）由（1）得x=8時，y最大．為18，此時TB為直徑，等于10，
∴△PBT的面積=PT×TB÷2=12×10÷2=60；

（3）∵∠TPA=∠TPA，∠PTA=∠PBT，
∴△PTA∽△PBT，
∵S_△PAT=S_△PBT，
∴PA：PT=1：，
∵PT=12，
∴PA=6，
∵在自變量的取值范圍內，
∴存在．
點評：本題主要考查了勾股定理，切割線定理以及相似三角形的面積比等于相似比的平方等知識點的綜合運用．