Question

【題目】對于平面直角坐標系xOy中的點P和⊙C，給出如下定義：若存在過點P的直線l交⊙C于異于點P的A，B兩點，在P，A，B三點中，位于中間的點恰為以另外兩點為端點的線段的中點時，則稱點P為⊙C 的相鄰點，直線l為⊙C關于點P的相鄰線．

（1）當⊙O的半徑為1時，
①分別判斷在點D（ ， ），E（0，﹣ ），F（4，0）中，是⊙O的相鄰點有；
②請從①中的答案中，任選一個相鄰點，在圖1中做出⊙O關于它的一條相鄰線，并說明你的作圖過程；
③點P在直線y=﹣x+3上，若點P為⊙O的相鄰點，求點P橫坐標的取值范圍；
（2）⊙C的圓心在x軸上，半徑為1，直線y=﹣ 與x軸，y軸分別交于點M，N，若線段MN上存在⊙C的相鄰點P，直接寫出圓心C的橫坐標的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）D或E,解：②連接OD,過點D作OD的垂線交⊙O于A、B兩點,如圖所示： ,③令x=0代入y=﹣x+3,∴y=3,令y=0代入y=﹣x+3,∴x=3,∴y=﹣x+3與坐標軸的交點為（0,3）和（3,0）∵由于點P在直線y=﹣x+3上,且點P是⊙O的相鄰點,∴0≤PO≤3,且PO≠1又∵點P在⊙O外,∴1＜PO≤3,∴p的橫坐標范圍為：0≤x≤3；
（2）解：令x=0代入y=﹣ x+2 ，

∴y=2 ，

∴N（0，2 ），

令y=0代入y=﹣ x+2 ，

∴x=6，

∴M（6，0），

∵點P是半徑為1的⊙C的相鄰點，

∴0≤PC≤3且PC≠1，

∴點C在以點P為圓心，半徑為3的圓內，且不能在以點P為圓心，半徑為1的圓上，

∵點C在x軸上，

∴點C的橫坐標范圍的取值范圍：0≤x≤9．

【解析】解：（1）由定義可知，

當點P在⊙C內時，

由垂徑定理可知，點P必為⊙C的相鄰點，

此時，0≤PC＜1；

當點P在⊙C外時，

設點A是PB的中點，

連接PC交⊙C于點M，

延長PC交⊙C于點N，

連接AM，BN，

∵∠AMP+∠NMA=180°，

∠B+∠NMA=180°，

∴∠AMP=∠B，

∵∠P=∠P，

∴△AMP∽△NBP，

∴ = ，

∴PAPB=PMPN，

∵點A是PB的中點，

∴AB=PA，

又∵⊙C的半徑為1，

∴2AB2=（PC﹣CM）（PC+CN），

∴2AB2=PC2﹣1，

又∵AB是⊙C的弦，

∴AB≤2，

∴2AB2≤8，

∴PC2﹣1≤8，

∴PC2≤9，

∴PC≤3，

∵點P在⊙C外，

∴PC＞1，

∴1＜PC≤3，

當點P在⊙C上時，

此時PC=1，但不符合題意，

綜上所述，半徑為1的⊙C，當點P與圓心C的距離滿足：0≤PC≤3，且PC≠1時，點P為⊙C的相鄰點；

①∵D（ ， ），

∴DO= = ，

∵E（0，﹣ ），

∴OE= ，

∵F（4，0），

∴OF=4，

∴D和E是⊙O的相鄰點；