Question

如圖，在矩形ABCD中，BD=10，AD＞AB，設∠ABD=α，∠DBC=β，已知sinα、sinβ是方程25x²-kx+12=0的一個實根，點E，F分別是BC，DC上的點，EC+CF=4，設BE=x，△AEF的面積等于y．
（1）求AB•AD的值；
（2）求出y與x之間的函數關系式，并求y的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據根與系數的關系得出sinα•sinβ=，進而求出AB•AD的值；
（2）本題中△AEF的面積無法直接求出，可用梯形ABCF的面積-△ABE的面積-△CEF的面積來求．關鍵是求出AD，BC的長．即可表示出AB、BE、CE、CF的長，然后按上面所說的△AEF的面積計算方法即可求出y，x的函數關系式．
解答：解：（1）∵sinα=，sinβ=，BD=10，
∴sinα•sinβ==×=，
∴AD×CD=48，
∴AB•AD的值為48；

（2）∵AB•AD的值為48，AB²+AD²=BD²=100，
∴（AB+AD）²-2AB•AD=100，
∴（AB+AD）²=196，
∴AB+AD=14，
∵AD＞AB，
∴AD=8，AB=6，
∵BE=x，
∴EC=8-x，FC=4-EC=x-4，DF=6-FC=10-x．
則△AEF的面積：y=8×6-×6x-×8（10-x）-（8-x）（x-4）=x²-5x+24（4＜x＜8）．
點評：本題主要考查了矩形的性質、解直角三角形、圖形面積的求法及二次函數的綜合應用等知識點．不規則圖形或無法直接求出的圖形面積通常轉化為規則圖形的面積的和差．