Question

如圖, 已知直線分別與軸, 軸交于兩點, 點在軸上. 以點為圓心的⊙與直線相切于點, 連接.

(1) 求證: ∽;

（2）如果⊙的半徑為, 求出點的坐標, 并寫出以為頂點, 且過點的拋物線的解析式;

    (3) 在(2)的條件下, 在此拋物線上是否存在點, 使得以三點為頂點的三角形與相似? 如果存在, 請求出所有符合條件的點的坐標; 如果不存在, 請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析（2）(0,2) (3) (5,2)與(4,10)

【解析】（1）∵ 直線與⊙相切于點, ∴ , 而,

∴ ∽;                                                        

（2）容易求得點(0,12), 點(-6,0), 且, ∵ ∽,

∴ , 可得, ∴ 點的坐標為(0,2);     

設以為頂點的拋物線解析式為, (0,2)代入, 得,

所以所求拋物線解析式為;                   

（3）根據草圖觀察,

所求點應該在軸右側, 兩條直角邊應為2:1. 我們把所求直角三角形分

為 ① 是較短直角邊; ② 是較長直角邊; ③ 是斜邊 這樣三類.

對于①, 容易求得(20,12), (20,2), 但兩點均不在拋物線上, 不符合要求;

對于②, 容易求得(5,12), (5,2), 其中不符合要求;

對于③, 可以通過先求的高等于4后得到(4,10), (4,4), 其中不符合要求.

綜上所述, 符合條件的點的坐標有(5,2)與(4,10).             

（1）依題意得出MD⊥AB繼而推出∠MDA=∠AOB，∠MAD=∠BAO，然后可證明．

（2）依題意根據勾股定理求出AB的值，首先△ADM∽△AOB，利用線段比求出AM的值．已知頂點坐標代入解析式可求出a值．

（3）點P若存在，只能在y軸左側的拋物線上，有六種可能．