Question

如圖，△ABC中，∠ABC和∠ACB都是銳角，D，E分別在邊AB，AC上，DE∥BC將△ABC沿直線DE翻折得到△HGF，其中點A和H，點B和G，點C和F分別對應．
（1）若AB=AC，求證：四邊形AEHD是菱形；
（2）判斷四邊形GFCB是什么四邊形，說明理由；
（3）如果△BGD和△DEA相似，請你判斷四邊形AEHD是什么四邊形，說明理由．

Answer 1

分析：（1）要證四邊形AFCE是菱形，只需由已知條件證明其四邊相等即可．
（2）由題意易知，四邊形ABCD是平行四邊形，再證得一個直角即可．
（3）若△BGD和△DEA相似，可證得AEHD是菱形，再證菱形中有一個角是直角．

解答：解：（1）由題意得，AD=DH，AE=EH，又DE∥BC，
則∠ADE=∠ABC=∠ACB=∠AED，
∴AD=AE，
∴AD=AE=EH=DH，
∴四邊形AEHD是菱形；（3分）

（2）四邊形GFCB是矩形，（4分）
由題意知，DE是BG的中垂線，DE∥BC
∠GBC=∠BGF，（5分）
∵GF∥BC，
則∠FGB=∠GBC=90°，
同理∠BCF=∠GFC=90°，
則四邊形GFCB是矩形；（6分）

（3）四邊形AEHD是正方形，（7分）
理由是：△BGD和△AED相似，且GD=BD，
則△AED也是一個等腰三角形，
∠ADE=∠DBG，（8分）
又∠ADE=∠ABC，
∠GBD=∠ABC=

1

2

×90=45°；（9分）
由∠AED=∠ACB為銳角得
則∠AED=∠ADE=45°，即AD=AE，（10分）
由AD=DH，AE=EH，得四邊形AEHD是菱形；
由∠A=180°-45°×2=90°，得菱形AEHD是正方形（11分）

點評：本題考查了各種特殊四邊形的證明，各種四邊形的判定方法是證明的理論依據，熟記判定定理，選擇適當的方法是解題的關鍵．