Question

24、如圖所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AD是BC邊上的中線，過C作AD的垂線，交AB于點E，交AD于點F，求證：∠ADC=∠BDE．

Answer 1

分析：∠ADC和∠BDE所在的三角形肯定不全等，那么本題需要作輔助線．△ABC是等腰直角三角形，常用的輔助線是做三線里面的一線．可發現要證全等，已包含兩個條件需利用全等得到另一邊對應相等．

解答：解：作CH⊥AB于H交AD于P，
∵在Rt△ABC中AC=CB，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°．
∴∠HCB=90°-∠CBA=45°=∠CBA．
又∵中點D，
∴CD=BD．
又∵CH⊥AB，
∴CH=AH=BH．
又∵∠PAH+∠APH=90°，∠PCF+∠CPF=90°，∠APH=∠CPF，
∴∠PAH=∠PCF．
又∵∠APH=∠CEH，
在△APH與△CEH中
∠PAH=∠ECH，AH=CH，∠PHA=∠EHC，
∴△APH≌△CEH（ASA）．
∴PH=EH，
又∵PC=CH-PH，BE=BH-HE，
∴CP=EB．
在△PDC與△EDB中
PC=EB，∠PCD=∠EBD，DC=DB，
∴△PDC≌△EDB（SAS）．
∴∠ADC=∠BDE．

點評：難點是作輔助線構造全等，解決本題的關鍵理解證兩個角相等，通常也用證三角形全等的方法．