Question

【題目】如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，BC＝10，對角線AC、BD相交于點O，且AC⊥BD，設AD＝x，△AOB的面積為y．

（1）求∠DBC的度數；

（2）求y關于x的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍；

（3）如圖1，設點P、Q分別是邊BC、AB的中點，分別聯結OP，OQ，PQ．如果△OPQ是等腰三角形，求AD的長．

Answer 1

【答案】（1）∠DBC＝45；（2）y＝x（x＞0）；（3）滿足條件的AD的值為10﹣10．

【解析】

（1）過點D作AC的平行線DE，與BC的延長線交于E點，只要證明△BDE是等腰直角三角形即可解決問題；

（2）由（1）可知：△BOC，△AOD都是等腰直角三角形，由題意OA=x，OB=5，根據y=OAOB計算即可；

（3）分三種情形討論即可解決問題；

（1）過點D作AC的平行線DE，與BC的延長線交于E點．

∵梯形ABCD中，AD∥BC，AC∥DE，

∴四邊形ACED為平行四邊形，AC＝DE，AD＝CE，

∵AB＝CD，

∴梯形ABCD為等腰梯形，

∴AC＝BD，

∴BD＝DE，

又AC⊥BD，

∴∠BOC＝90°

∵AC∥DE

∴∠BDE＝90°，

∴△BDE是等腰直角三角形，

∴∠DBC＝45°．

（2）由（1）可知：△BOC，△AOD都是等腰直角三角形，

∵AD＝x，BC＝10，

∴OA＝x，OB＝5，

∴y＝．

（3）如圖2中，

①當PQ＝PO＝BC＝5時，

∵AQ＝QB，BP＝PC＝5，

∴PQ∥AC，PQ＝AC，

∴AC＝10，∵OC＝5，

∴OA＝10﹣5，

∴AD＝OA＝10﹣10．

②當OQ＝OP＝5時，AB＝2OQ＝10，此時AB＝BC，∠BAC＝∠BCA＝45°，

∴∠ABC＝90°，同理可證：∠DCB＝90°，

∴四邊形ABCD是矩形，不符合題意，此種情形不存在．

③當OQ＝PQ時，AB＝2OQ，AC＝2PQ，

∴AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB＝45°，

∴∠BAC＝90°＝∠BOC，顯然不可能，

綜上所述，滿足條件的AD的值為10﹣10．