Question

如圖△ABC≌△DEC，公共頂點為C，B在DE上，則有結論①∠ACD=∠BCE=∠ABD；②∠DAC+∠DBC=180°；③△ADC∽△BEC；④CD⊥AB，其中成立的是（ ）

A．①②③
B．只有②④
C．只有①和②
D．①②③④

Answer 1

【答案】分析：首先根據全等三角形的性質，看能夠得到哪些等角和等邊，然后根據這些等量條件來判斷各結論是否正確．
解答：解：∵△ABC≌△DEC，且C為公共頂點，
∴∠ABC=∠E，∠ACB=∠BCE，BC=CE；
由∠ACB=∠BCE，得∠ACD=∠BCE=∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD，
由BC=CE，得∠CBE=∠E，
∴∠ABC=∠CBE=∠E，∠ACD=∠BCE；
又∵∠ABD=180°-∠ABC-∠CBE，∠BCE=180°-∠CBE-∠E，
∴∠ABD=∠BCE=∠ACD，故①正確；
∵△ABC≌△DEC，且C為公共頂點，
∴AC=CD，即∠ACD=180°-2∠ADC；
又∵∠BCE=180°-2∠E，且∠ACD=∠BCE，
∴∠ADC=∠E=∠ABC；
由已知的全等三角形，還可得：∠BAC=∠BDC，
∴∠DAC+∠DBC=∠BAC+∠BAD+∠ABC+∠ABD=∠BAD+∠ADB+∠ABD=180°；
故②正確；
由②∠DAC+∠DBC=180°知，A、D、B、C四點共圓，
由圓周角定理知：∠ADB=∠ABC=∠E；
結合①②的證明過程知：△ADC、△BEC都是等腰三角形，且它們的底角相等，
故△ADC∽△BEC，③正確；
由于缺少條件，無法證明④的結論一定成立，故④錯誤；
所以正確的結論為①②③，
故選A．
點評：此題主要考查的是相似三角形及全等三角形的判定和性質，其中還涉及到三角形內角和定理、三角形的外角性質、等腰三角形的性質等知識，有一定難度．