Question

已知拋物線y=ax²+bx+c與y軸交于點A（0，3），與x軸交于點B（1，0），C（5，0）．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若點D為線段OA的一個三等分點，求直線DC的解析式；
（3）設M為OA中點，x軸上有一點E，在拋物線對稱軸上有一點F．若S=ME+EF+FA，則求當S最小時，E、F兩點的坐標，及此時S的值．

Answer 1

解：（1）根據題意，設拋物線的解析式為：y=a（x-5）（x-1），
則有：3=a（0-5）（0-1），
a=；
∴拋物線的解析式為：y=（x-5）（x-1）=x²-x+3．

（2）依題意可得OA的三等分點分別為（0，1），（0，2）；
設直線CD的解析式為y=kx+b；
當點D的坐標為（0，1）時，直線CD的解析式為y=-x+1；
當點D的坐標為（0，2）時，直線CD的解析式為y=-x+2．

（3）如圖，由題意，可得M（0，）；
點M關于x軸的對稱點為M′（0，-），
點A關于拋物線對稱軸x=3的對稱點為A′（6，3）；
連接A′M′；
根據軸對稱性及兩點間線段最短可知，A′M′的長就是所求的S最小值；
所以A′M′與x軸的交點為所求E點，與直線x=3的交點為所求F點；
可求得直線A′M′的解析式為y=x-；
可得E點坐標為（2，0），F點坐標為（3，）；
由勾股定理可求出A′M′=；
所以此時S的值最小，且S=ME+EF+FA=．
分析：（1）將A、B、C三點坐標代入拋物線的解析式中，通過聯立方程組求出待定系數的值，從而確定該拋物線的解析式．
（2）已知A（0，3），那么OA的三等分點應該是（0，1）或（0，2），而C點坐標已知，分兩種情況，利用待定系數法求解即可．
（3）若ME+EF+FA的值最小，可取A關于拋物線對稱軸的對稱點A′，M關于x軸的對稱點M′，若連接A′M′，那么與x軸、拋物線對稱軸的交點必為所求的E、F點，可先求出直線A′M′的解析式，進而可求出E、F的坐標，而A′、M′的坐標已求得，即可得到A′M′，即此時S的最小值．
點評：此題主要考查了函數解析式的確定、軸對稱的性質、兩點間線段最短等知識點的綜合應用，（3）題中，根據軸對稱和兩點間線段最短等相關知識確定出E、F點的位置，是解決問題的關鍵．