Question

如圖，二次函數y=ax²+bx（a＞0）的圖象與反比例函數圖象相交于點A，B，已知點A的坐標為（1，4），點B在第三象限內，且△AOB的面積為3（O為坐標原點）．
①求實數k的值；
②求二次函數y=ax²+bx（a＞0）的解析式；
③設拋物線與x軸的另一個交點為D，E點為線段OD上的動點（與O，D不能重合），過E點作EF∥OB交BD于F，連接BE，設OE的長為m，△BEF的面積為S，求S于m的函數關系式；
④在③的基礎上，試說明S是否存在最大值？若存在，請求出S的最大值，并求出此時E點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：①把A（1，4）代入得：k=xy=4，
答：實數k的值是4．

②過B作BM⊥x軸于M，BN⊥y軸于N，過A作AH⊥x軸于H，兩線BN和AH交于Q，
設OM=c，ON=d，c＞0，d＞o，
則：S=S_△ABQ-S_△AOH-S_△BNO-S_矩形ONQH，
即：3=（1+c）（4+d）-×1×4-cd-d×1，
cd=k=4，
解得：c=2，d=2，
∴B（-2，-2），
把A（1，4）和B（-2，-2）代入拋物線得：，
解得：，
∴y=x²+3x，
答：二次函數y=ax²+bx（a＞0）的解析式是y=x²+3x．
⑨把y=0代入y=x²+3x得：x²+3x=0，
解得：x₁=0，x₂=-3，
∴D（-3，0），
即OD=3，
∵B（-2，-2），
∴由勾股定理得：OB=2，
∵EF∥OB，
∴△DFE∽△DBO，
∴=，
∴=，
∴EF=2-m，
過F作FC⊥x軸于C，
根據相似三角形的對應高之比等于相似比得：=，
∴=，
FC=

S=S_△EDB-S_△EDF
=DE×BM-FC×DE，
即S=-m²+m，
∴S與m的函數關系S=-m²+m．

④S=-m²+m．
當m=時，S最大，是，
∴，
答：在③的基礎上，S存在最大值，S的最大值是，此時E點的坐標是（-，0）．
分析：①把A（1，4）代入即可；
②過B作BM⊥x軸于M，BN⊥y軸于N，過A作AH⊥x軸于H，兩線BN和AH交于Q，設OM=c，ON=d，c＞0，d＞o，根據S=S_△ABQ-S_△AOH-S_△BNO-S_矩形ONQH，和cd=4，求出c=2，d=2，得到B（-2，-2），把A（1，4）和B（-2，-2）代入拋物線得出方程組，求出方程組得解即可；
③充分利用（-2，-2）這一坐標，由△DFE相似于△DBO求得EF的長（含m），再表示出F到x軸的距離，利用△EDB的面積減去△EDF的面積即可建立S與m的函數關系
④S=m（1+-m），當m=時，S最大，把m=代入即可求出s，從而得到E的坐標．
點評：本題主要考查對用待定系數法求二次函數的解析式，反比例函數的圖象上點的坐標特征，解二元一次方程，三角形的面積，平行線的性質，勾股定理，函數的最值，銳角三角函數的定義等知識點的理解和掌握，能熟練地運用這些性質進行計算是解此題的關鍵，此題是一個拔高的題目，有一定的難度．