Question

（2009•郴州）如圖1，已知正比例函數和反比例函數的圖象都經過點M（-2，-1），且P（-1，-2）為雙曲線上的一點，Q為坐標平面上一動點，PA垂直于x軸，QB垂直于y軸，垂足分別是A、B．
（1）寫出正比例函數和反比例函數的關系式；
（2）當點Q在直線MO上運動時，直線MO上是否存在這樣的點Q，使得△OBQ與△OAP面積相等？如果存在，請求出點的坐標，如果不存在，請說明理由；
（3）如圖2，當點Q在第一象限中的雙曲線上運動時，作以OP、OQ為鄰邊的平行四邊形OPCQ，求平行四邊形OPCQ周長的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）正比例函數和反比例函數的圖象都經過點M（-2，-1），設出正比例函數和反比例函數的解析式，運用待定系數法可求它們解析式；
（2）因為P（-1，-2）為雙曲線Y=上的一點，所以△OBQ、△OAP面積為1，依據反比例函數的圖象和性質，點Q在雙曲線上，即符合條件的點存在，是正比例函數和反比例函數的圖象的交點；
（3）因為四邊形OPCQ是平行四邊形，所以OP=CQ，OQ=PC，而點P（-1，-2）是定點，所以OP的長也是定長，所以要求平行四邊形OPCQ周長的最小值就只需求OQ的最小值．
解答：解：（1）設正比例函數解析式為y=kx，
將點M（-2，-1）坐標代入得k=，所以正比例函數解析式為y=x，
同樣可得，反比例函數解析式為；

（2）當點Q在直線OM上運動時，
設點Q的坐標為Q（m，m），
于是S_△OBQ=OB•BQ=×m×m=m²，
而S_△OAP=|（-1）×（-2）|=1，
所以有，m²=1，解得m=±2，
所以點Q的坐標為Q₁（2，1）和Q₂（-2，-1）；

（3）因為四邊形OPCQ是平行四邊形，所以OP=CQ，OQ=PC，
而點P（-1，-2）是定點，所以OP的長也是定長，
所以要求平行四邊形OPCQ周長的最小值就只需求OQ的最小值，（8分）
因為點Q在第一象限中雙曲線上，所以可設點Q的坐標為Q（n，），
由勾股定理可得OQ²=n²+=（n-）²+4，
所以當（n-）²=0即n-=0時，OQ²有最小值4，
又因為OQ為正值，所以OQ與OQ²同時取得最小值，
所以OQ有最小值2，由勾股定理得OP=，
所以平行四邊形OPCQ周長的最小值是2（OP+OQ）=2（+2）=2+4．（10分）
點評：此題難度稍大，考查一次函數反比例函數二次函數的圖形和性質，綜合性比較強．要注意對各個知識點的靈活應用．