Question

27、近段時間來，隨著股市行情的全面上漲，某證券公司計劃投資A、B兩種股票100萬股，該公司所籌資金不少于1068萬元，但不超過1076萬元，且所籌資金全部用于投資這兩種股票．目前A種股票每股8元，B種股票每股12元．預計2個月后賣出股票時，A種股票將上漲至每股10元，B種股票將上漲至每股16元．每種股票均購買的股票是整數萬股．
（1）該公司對這兩種股票有哪幾種投資方案？請設計出來；
（2）該公司如何購買A、B兩種股票可獲得的毛利潤最大？
（3）據調查，兩個月后，B種股票每股的股價保持在16元，而A種股票每股的股價將比預計的股價再高出a（a＞0）元，且購買的兩種股票可全部出售．該公司該如何投資獲得的毛利潤最大？（毛利潤=賣出股票的總額-買進股票的總額）

Answer 1

分析：（1）由題意可知：A種股票的籌集的資金+B種股票籌集的資金≥1068萬元；A種股票的籌集的資金+B種股票籌集的資金≤1076萬元，如果設A種股票x萬股，則購買B種股票為（100-x）萬股，那么可得出不等式求出x的取值范圍，然后找出符合條件的方案．
（2）毛利潤=A種股票的獲利+B種股票的獲利．由此可得出毛利潤和x的關系式，由（1）中x的取值范圍和函數的性質，就能求出獲利最大的方案．
（3）函數的關系式類似于（2）只不過讓A股每股加a元，得到新的關系式后，根據函數的性質和自變量的取值范圍，求出a在不同的情況下，獲利最多的方案．

解答：解：（1）設A種股票x萬股，則購買B種股票為（100-x）萬股，由題意得：1068≤8x+12（100-x）≤1076解得31≤x≤33
因為x為整數，所以公司有三種購買方案，即方案一：A種股票31萬股，則購買B種股票為69萬股；方案二：A種股票32萬股，則購買B種股票為68萬股；方案三：A種股票33萬股，則購買B種股票為67萬股．

（2）設毛利潤為y萬元，則y=（10-8）x+（16-12）（100-x）=-2x+400（31≤x≤33的整數）
因為y隨x的增大而減小，所以當x=31時，y取得最大．即A種股票31萬股，則購買B種股票為69萬股時，公司取得最大利潤338萬元．

（3）由題意得毛利潤y=（10+a-8）x+（16-12）（100-x）=（a-2）x+400（31≤x≤33的整數）
（Ⅰ）當a-2=0即a=2時，三種方案的毛利潤相同為400萬元．
（Ⅱ）當a-2＞0即a＞2時，買A種股票33萬股，則購買B種股票為67萬股時，公司獲得的毛利潤最大．
（Ⅲ）當a-2＜0即a＜2時，A種股票31萬股，則購買B種股票為69萬股時，公司獲得的毛利潤最大．

點評：本題是利用一次函數的有關知識解答實際應用題，解答一次函數的應用問題中，要注意自變量的取值范圍還必須使實際問題有意義．