Question

（2006•宜賓）如圖，矩形紙片OABC放在直角坐標系中，使點O為坐標原點，邊OA、OC分別落在x軸、y軸的正半軸上，且OA=5，OC=3，將矩形紙片折疊，使點O落在線段CB上，設落點為P，折痕為EF．
（1）當CP=2時，恰有OF=，求折痕EF所在直線的函數表達式；
（2）在折疊中，點P在線段CB上運動，設CP=x（0≤x≤5），過點P作PT∥y軸交折痕EF于點T，設點T的縱坐標為y，請用x表示y，并判斷點T運動形成什么樣的圖象；
（3）請先探究，再猜想：怎樣折疊，可使折痕EF最長？并計算出EF最長時的值．（不要求證明）

Answer 1

【答案】分析：（1）Rt△PCE中，根據勾股定理得到OE，CE，得到點E、F的坐標，根據待定系數法求函數解析式．
（2）易證Rt△PTH≌Rt△OEH，進而證明Rt△OEH∽Rt△OPC，就可以求出y與x的函數解析式．
（3）猜想：當點F與點A重合時，折痕EF最長，易證Rt△EOA∽Rt△PCO，就可以解決．
解答：解：（1）設OE=y，則CE=3-y，
∵點P是點0關于直線EF翻折的對稱點，
在Rt△PCE中，有CE²+CP²=PE²，y=，OF=，
∴點E、F的坐標分別是（0，），（，0），
∴折痕EF所在直線的解析式為y=-+．

（2）由題意，點T的坐標為（x，y），連接OP，交EF于點H，
∵由已知得點0折疊后落到點P上，由翻折的對稱性可知，
∴EF為OP的垂直平分線，
∴OH=PH，
∴Rt△PTH≌Rt△OEH，
∴PT=OE，（5分）
Rt△OEH∽Rt△OPC，
UP=x，
OE===PT，
又PT=3-y，
y=-+（0≤x≤5），
所以點T運動形成的圖形是開口向下的拋物線的一部分，
另法：由題意：點T的坐標為（x，y），連接OP、OT．
由翻折性質得：OT=PT，
OT2=x²+y²，PT=3-y，
∴x²+y²=9-6y+y²
∴y=（0≤x≤5），
所以點T運動形成的圖形是開口向下的拋物線的一部分．

（3）猜想：當點F與點A重合時，折痕EF最長，（10分）
此時，仍設CP=x，EA為OP的垂直平分線，則有：EA⊥OP，
∴Rt△EOA∽Rt△PCO．
OE=．
又由（2）可知：OE=，
解得x=1或x=9，
又∵O≤x≤5，
∴x=1，
∴OE=，
∵在Rt△OEA中，OA=5．
∴EF=．
點評：本題主要考查了待定系數法求函數解析式，是三角形與函數的綜合題，難度較大．