Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，將一塊腰長為5的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在兩坐標軸上，直角頂點C的坐標為（﹣1，0），點B在拋物線y=ax2+ax﹣2上．

（1）點A的坐標為 ，點B的坐標為 ；

（2）拋物線的關系式為 ；

（3）設（2）中拋物線的頂點為D，求△DBC的面積；

（4）將三角板ABC繞頂點A逆時針方向旋轉90°，到達△AB′C的位置．請判斷點B′C′是否在（2）中的拋物線上，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（0，2），（﹣3，1）；

（2）y=0.5x2+0.5x﹣2；

（3）S△BCD=；

（4）點B′、C′在（2）中的拋物線上．理由見解析.

【解析】分析：（1）求A點的坐標就是求OA的長，可在直角三角形OAC中，根據AC=5，OC=1來求出OA的長，即可得出A的坐標．如果過B作x軸的垂線，假設垂足為F，那么△ACO≌△CBH，OA=CF，BF=OC，由此可求出B的坐標；

（2）將已經求出的A，B的坐標代入拋物線的解析式中即可求出拋物線的解析式；

（3）根據（2）的函數關系式即可求出D點的坐標．求△DBC的面積時，可將△DBC分成△CBE和△DCE兩部分（假設BD交x軸于E）．可先根據B，D的坐標求出BD所在直線的解析式，進而求出E點的坐標，那么可求出CE的長，然后以B，D兩點的縱坐標的絕對值分別作為△BCE和△DCE的高，即可求出△DBC的面積；（4）本題的關鍵是求出B′，C′兩點的坐標．過點B′作B′M⊥y軸于點M，過點B作BN⊥y軸于點N，過點C″作C″P⊥y軸于點P．然后仿照（1）中求坐標時的方法，通過證Rt△AB′M≌Rt△BAN來得出B′的坐標．同理可得出C′的坐標．然后將兩點的坐標分別代入拋物線的解析式中，進而可判斷出兩點是否在拋物線上．

本題解析：（1）∵C（1，0），∴OC=1，∵AC= ，∴OA==2，∴A（0，2），

作BH⊥x軸于H，如圖1，∵△ACB為等腰直角三角形，∴CA=CB，∠ACB=90°，

∵∠ACO+∠BCH=90°，∠ACO+∠CAO=90°，∴∠CAO=∠BCH，

在△ACO和△CBH中，∴△ACO≌△CBH，∴OC=BH=1，AO=CH=2，∴B（﹣3，1）；

故答案為（0，2），（﹣3，1）；

（2）把B（﹣3，1）代入y=ax2+ax﹣2得9a﹣3a﹣2=1，解得a=0.5，∴拋物線解析式為y=0.5x2+0.5x﹣2；

故答案為y=0.5x2+0.5x﹣2；

（3）∵y=0.5x2+0.5x﹣2=0.5（x+0.5）2﹣ ，∴D（﹣0.5，﹣），設直線BD的關系式為y=kx+b，

將B（﹣3，1）、D（﹣0.5，﹣ ）代入得 ，解得，

∴BD的關系式為y=﹣ x﹣ ；直線BD和x軸交點為E，如圖1，

當y=0時，﹣x﹣=0，解得x=﹣2.2，則E（﹣2.2，0），

∴S△BCD=S△BCE+S△DCE=0.5·（﹣1+2.2）·1+0.5·（﹣1+2.2）·=；

（4）點B′、C′在（2）中的拋物線上．理由如下：

如圖2，過點B′作B′N⊥y軸于點N，過點B作BF⊥y軸于點F，過點C′作C′M⊥y軸于點M，

∵三角板ABC繞頂點A逆時針方向旋轉90°，到達△AB′C的位置，

∴∠CAC′=90°，∠BAB′=90°，AC=AC′，AB=AB′，

∵∠BAF+∠B′AN=90°，∠BAF+∠ABF=90°，∴∠ABF=∠B′AN，

在Rt△AB′N與Rt△BAF中， ，∴Rt△AB′N≌Rt△BAF，

∴B′N=AF=2，AN=BF=3，∴B′（1，﹣1），同理可得△AC′M≌△CAO，

∴C′M=OA=2，AM=OC=1，∴C′（2，1），

當x=1時，y=x2+x﹣2=+﹣2=﹣1，所以點B′（1，﹣1）在拋物線上，

當x=2時，y=x2+x﹣2=2+1﹣2=1，所以點C′（2，1）在拋物線上．