Question

試求出兩兩互質的不同的三個自然數x，y，z，使得其中任意兩個的和能被第三個數整除．

Answer 1

分析：根據題中有三個未知數，我們設法得到一些方程，然后從中解出這些未知數．

解答：解：不妨設x＜y＜z，于是

y+z

x

，

z+x

y

，

x+y

z

都是自然數．
先考慮最小的一個：
1≤

x+y

z

＜

z+z

z

=2，
∴

x+y

z

=1，即z=x+y．
再考慮

z+x

y

，
∵y|（z+x），即y|（y+2x），∴y|2x，
于是1≤

2x

y

＜

2y

y

=2，
∴

2x

y

=1，即y=2x，從而這三個數為x，2x，3x，
∵這三個數兩兩互質，
∴x=1．
所求的三個數為1，2，3．

點評：本題考查了數的整除，是一道競賽題，但難度不大．