Question

在矩形ABCD中，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，EF⊥BE交CD于點(diǎn)F．
（1）當(dāng)AB=BC時(shí)，求sin∠FBC；
（2）過F作GF⊥BF交BE的延長線于點(diǎn)G，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）先由有一組鄰邊相等的矩形是正方形證明出四邊形ABCD是正方形，得出AB=AD=CD=BC，再根據(jù)有兩個(gè)角對應(yīng)相等的三角形相似得出△ABE∽△DEF，由相似三角形對應(yīng)邊成比例得出AB：DE=AE：DF，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求出sin∠FBC；
（2）先由△ABE∽△DEF，得出==．設(shè)DE=AE=a，AB=CD=b，設(shè)EF=ak，則BE=bk（k≠0），則DF=．再由△BEF∽△FEG，得出BE：FE=EF：EG，則可用含a、b、k的代數(shù)式表示EG，然后分別計(jì)算，，即可得證．
解答：（1）解：∵在矩形ABCD中，AB=BC，
∴四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD=CD=BC，∠A=∠D=90°，
∴∠AEB+∠ABE=90°，
∵EF⊥BE，
∴∠AEB+∠DEF=90°，
∴∠ABE=∠DEF，
∴△ABE∽△DEF，
∴AB：DE=AE：DF，
∵點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，
∴DE=AE=AD=AB，
∴DF=AB，
∴CF=AB，
∴BF==AB，
∴sin∠FBC==；

（2）由（1）知△ABE∽△DEF，
∴==．
設(shè)DE=AE=a，AB=CD=b，則AD=BC=2a．
∴==，
∴DF=．
在△BEF與△FEG中，
∵∠BFE=∠G=90°-∠EFG，∠BEF=∠FEG=90°，
∴△BEF∽△FEG，
∴BE：FE=EF：EG，
∵=，∴可設(shè)EF=ak，則BE=bk（k≠0）．
∴EG===．
∵==，
==，
∴=．
點(diǎn)評：本題考查了矩形的性質(zhì)，正方形與相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)的定義，綜合性較強(qiáng)，難度中等，（2）中設(shè)出輔助未知數(shù)可使解題簡便．