Question

如圖，⊙O與矩形ABCD的AD、AB、CD的三邊分別相切于E、F、G三點，邊BC與⊙O交于P、Q兩點，若AD=4，AB=3，則sin∠PEQ的值為

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

B
分析：連接EO并延長，交圓O于點M，連接FG，過圓心O，連接OP，OQ，由圓O與矩形三邊都相切，利用切線的性質得到OE垂直于AD，OF垂直于AB，OG垂直于DC，切線長AE=AF，DE=DG，同時得到四邊形AEMB為矩形，四邊形AEOF與EODG都為正方形，可得出AE=DE，AD即為圓的直徑，求出圓的半徑OP的長，再由EM-EO求出OM的長，由OM垂直于PQ，得到M為PQ的中點，在直角三角形OPM中，由OM等于OP的一半，得到∠OPM=30°，進而求出∠POM=60°，又三角形OPQ為等腰三角形，利用三線合一得到OM為∠POQ角平分線，確定出∠POQ的度數，利用同弧所對的圓心角等于所對圓周角的2倍，求出∠PEQ的度數，利用特殊角的三角函數值即可求出所求式子的值．
解答：解：連接EO并延長，交圓O于點M，連接FG，過圓心O，連接OP，OQ，
∵⊙O與矩形ABCD的AD、AB、CD的三邊分別相切于E、F、G三點，
∴OE⊥AD，OF⊥AB，OG⊥DC，AE=AF，DE=DG，
∴四邊形ABME為矩形，四邊形AEOF和EODG為正方形，
∴EM⊥PQ，AE=DE，
∴M為PQ的中點，
又∵AD=4，AB=3，
∴EM=AB=3，FG=AD=4，即圓的直徑為4，
∴OP=OE=2，OM=EM-OE=3-2=1，
在Rt△OPM中，OM=OP，
∴∠OPM=30°，∠POM=60°，
∴∠POQ=120°，
∴∠PEQ=60°，
則sin∠PEQ=sin60°=．
故選B．
點評：此題考查了切線的性質，勾股定理，垂徑定理，矩形的性質，等腰三角形的性質，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理及性質是解本題的關鍵．