Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AC和BD是它的兩條切線，CO平分∠ACD．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若AC=2，BD=3，求AB的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）過O點作OE⊥CD于點E，通過角平分線的性質得出OE=OA即可證得結論．
（2）過點D作DF⊥BC于點F，根據切線的性質可得出DC的長度，繼而在RT△DFC中利用勾股定理可得出DF的長，繼而可得出AB的長度．
解答：（1）證明：過O點作OE⊥CD，垂足為E，

∵AC是⊙O的切線，
∴OA⊥AC，
∵CO平分∠ACD，OE⊥CD，
∴OA=OE，
∴CD是⊙O的切線．

（2）解：過C點作CF⊥BD，垂足為F，

∵AC，CD，BD都是⊙O的切線，
∴AC=CE=2，BD=DE=3，
∴CD=CE+DE=5，
∵∠CAB=∠ABD=∠CFB=90°，
∴四邊形ABFC是矩形，
∴BF=AC=2，DF=BD-BF=1，
在Rt△CDF中，CF²=CD²-DF²=5²-1²=24，
∴AB=CF=2．
點評：此題考查了切線的性質、角平分線的性質及勾股定理的知識，證明第一問關鍵是掌握切線的判定定理，解答第二問關鍵是熟練切線的性質，難度一般．