Question

如圖，已知△ABC，以邊BC為直徑的圓與邊AB交于點D，點E為弧BD的中點，AF為△ABC角平分線，且AF⊥EC．
（1）求證：AC與⊙O相切；
（2）若AC=6，BC=8，求EC的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接BE，只要證得∠OAC=90°即可．
（2）根據相似三角形的判定得到△EBH∽△ECB，根據相似比即可求得EC的長．
解答：（1）證明：如圖，連接BE，
∵AF是∠BAC的角平分線，AF⊥EC，
∴∠ACH=∠AHC．
∵∠BHE=∠AHC，
∴∠ACH=∠BHE．
∵E是的中點，
∴∠EBD=∠BCE．
∵BC是⊙O的直徑，
∴∠BEC=90°．（ 3分）
∴∠EBH+∠BHE=90°．
∴∠BCE+∠ACE=90°．
∴AC是⊙O的切線．（4分）

（2）解：在Rt△ABC中，
∵AC=6，BC=8，
∴AB=10．
又∵∠ACH=∠AHC，
∴AH=AC=6．
∴BH=AB-AH=10-6=4．（6分）
∵∠EBH=∠ECB，
∴△EBH∽△ECB．
∴==．
在Rt△EBC中，
∵EC=2EB，BC=8，
∵EC²+EB²=BC²
∴EC=．
點評：本題考查的是切線的性質，相似三角形的判定定理及勾股定理的綜合運用．