Question

已知：將一副三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）如圖①擺放，點E、A、D、B在一條直線上，且D是AB的中點，將Rt△DEF繞點D順時針方向旋轉角α（0°＜α＜90°），在旋轉過程中，直線DE、AC相交于點M，直線DF、BC相交于點N，分別過點M、N作直線AB的垂線，垂足為G、H。
（1）當α=30°時（如圖②），求證：AG=DH；
（2）當0°＜α＜90 °時，（1）中的結論是否成立？請根據圖③說明理由；
（3）在Rt△DEF繞點D順時針方向旋轉過程中，DM與DN的比值是否發生改變？如果不改變，請直接寫出比值；如果改變，請說明理由。

Answer 1

解：（1）∵∠A=∠ADM=30°   ∴MA=MD   又MG⊥AD于點G   ∴AG=DG ∵∠BDC=180 °- ∠ADE- ∠EDF=180 °-30 °-90 °=60 °= ∠B   ∴CB=CD     ∴C 與N 重疊     又NH⊥DB于點H     ∴DH=BH ∵AD=DB       ∴AG=DH； （2）當0°＜α＜90°時，（1）中的結論成立， 如圖③，在Rt △AMG 中，∠A=30°     ∴∠AMG =60°=∠B 又∠AGM=∠NHB=90 °       ∴△AGM∽△NHB   ∴ ……  ① ∵∠MDG=α       ∴∠DMG=90°-α=∠NDH 又∠MGD=∠DHN=90°     ∴Rt△MGD∽Rt△DHN ∴ …… ② ①×②，得   由比例的性質，得 即 ∵AD=DB     ∴AG=DH；     （3）在Rt△DEF繞點D順時針方向旋轉過程中，值沒有改變，。