Question

請閱讀下列材料：
∵

1

1×3

=

1

2

(1-

1

3

)；

1

3×5

=

1

2

(

1

3

-

1

5

)；

1

5×7

=

1

2

(

1

5

-

1

7

)；
…

1

2007×2009

=

1

2

(

1

2007

-

1

2009

)
∴

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

2007×2009

=

1

2

(

1

1

-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2007

-

1

2009

)
=

1

2

×(1-

1

2009

)
=

1004

2009

解答下列問題：
（1）在和式

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…中，第5項為

 

，第n項為

1

(2n-1)(2n+1)

，上述求和的想法是：將和式中的各分數轉化為兩個數之差，使得首末兩項外的中間各項可以

 

，從而達到求和目的．
（2）利用上述結論計算

1

x(x+2)

+

1

(x+2)(x+4)

+

1

(x+4)(x+6)

+…+

1

(x+2008)(x+2010)

Answer 1

分析：本題為規律性試題，我們可以看到，每一項分母為相鄰的兩個奇數項相乘，每一項分母的后一個奇數與它后一項分母的前一個奇數相等，尋找規律計算即可．

解答：解：（1）

1

9×11

、

1

(2n-1)(2n+1)

、抵消為零；

（2）原式=

1

2

(

1

x

-

1

x+2

+

1

x+2

-

1

x+4

+

1

x+4

-

1

x+6

++

1

x+2008

-

1

x+2010

)
=

1

2

(

1

x

-

1

x+2010

)
=

1005

x(x+2010)

點評：本題考查了尋找規律性的問題，關鍵為找到每一項的共性，以及每一項之間的聯系．