Question

11．如圖，已知AB=AD，∠ABC=∠ADC．試判斷AC與BD的位置關系，并說明理由．

Answer 1

分析 AC與BD垂直，理由為：由AB=AD，利用等邊對等角得到一對角相等，利用等式性質得到∠BDC=∠DBC，利用等角對等邊得到DC=BC，利用SSS得到三角形ABC與三角形ADC全等，利用全等三角形對應角相等得到∠DAC=∠BAC，再利用三線合一即可得證．

解答 解：AC⊥BD，理由為：
∵AB=AD（已知），
∴∠ADB=∠ABD（等邊對等角），
∵∠ABC=∠ADC（已知），
∴∠ABC-∠ABD=∠ADC-∠ADB（等式性質），即∠BDC=∠DBC，
∴DC=BC（等角對等邊），
在△ABC和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{AC=AC}\\{BC=DC}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠DAC=∠BAC（全等三角形的對應角相等），
又∵AB=AD，
∴AC⊥BD（等腰三角形三線合一）．

點評 此題考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵．