Question

某校七年級數學興趣小組對“三角形內角或外角平分線的夾角與第三個內角的數量關系”進行了探究．

（1）如圖1，△ABC兩內角∠ABC與∠ACB的平分線交于點E．則∠BEC=90°+∠A．
（閱讀下面證明過程，并填空．）
證明：∵BE、CE分別平分∠ABC和∠ACB，
∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB（角平分線的定義）
∴∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB）（______）
=180°-（）=180°-（∠ABC+∠ACB）
=180°-（180°-∠A）
=______=90°+
（2）如圖2，△ABC的內角∠ABC的平分線與△ABC的外角∠ACM的平分線交于點E．
請你寫出∠BEC與∠A的數量關系，并證明．
答：∠BEC與∠A的數量關系式：______．
證明：______．
（3）如圖3，△ABC的兩外角∠CBD與∠BCF的平分線交于點E，請你直接寫出∠BEC與∠A的數量關系，不需證明．

Answer 1

（1）證明：∵BE、CE分別平分∠ABC和∠ACB，
∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB（角平分線的定義）
∴∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB）（ 三角形內角和定理）
=180°-（），
=180°-（∠ABC+∠ACB），
=180°-（180°-∠A），
=180°-90°+∠A，
=90°+；

（2）探究2結論：∠BEC=∠A，
理由如下：
∵BE和CE分別是∠ABC和∠ACM的角平分線，
∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACM，
又∵∠ACM是△ABC的一外角，
∴∠ACM=∠A+∠ABC，
∴∠2=（∠A+∠ABC）=∠A+∠1，
∵∠2是△BEC的一外角，
∴∠BEC=∠2-∠1=∠A+∠1-∠1=∠A；

（3）探究3：∠EBC=（∠A+∠ACB），∠ECB=（∠A+∠ABC），
∠BEC=180°-∠EBC-∠ECB，
=180°-（∠A+∠ACB）-（∠A+∠ABC），
=180°-∠A-（∠A+∠ABC+∠ACB），
結論∠BEC=90°-∠A．
分析：（1）根據題目解答過程填寫即可；
（2）根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，用∠A與∠1表示出∠2，再利用∠E與∠1表示出∠2，然后整理即可得到∠BEC與∠E的關系；
（3）根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和以及角平分線的定義表示出∠EBC與∠ECB，然后再根據三角形的內角和定理列式整理即可得解．
點評：本題考查了三角形的外角性質與內角和定理，熟記三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和是解題的關鍵．