Question

如圖，CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于E，F是DC延長線上的一點，連接BF．若AE=

3

，EO=1，CF=2．
（1）求⊙O的半徑．
（2）求證：直線BF是⊙O的切線．

Answer 1

分析：（1）由CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于E，根據垂徑定理，即可求得BE的長，然后由勾股定理，即可求得⊙O的半徑OB的長．
（2）由CF=2即可求得OF的長，即可求得

OB

OF

=

OE

OB

，又由∠BOE是公共角，即可得△OBE∽△OFB，則∠OBF=∠OEB=90°，繼而證得直線BF是⊙O的切線．

解答：解：（1）連接OB．
∵CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于E，
∴BE=AE=

3

，∠OEB=90°，
在Rt△OEB中：OB=

OE2+BE2

=

12+( 3 )2

=2，
∴⊙O的半徑為2；

（2）∵CF=2，OC=B=2，
∴OF=OC+CG=4，
∴

OB

OF

=

2

4

=

1

2

，

OE

OB

=

1

2

，
∴

OB

OF

=

OE

OB

，
∵∠EOB=∠BOF，
∴△OBE∽△OFB，
∴∠OBF=∠OEB=90°，
∴OB⊥BF，
∴直線BF是⊙O的切線．

點評：此題考查了垂徑定理與圓的切線的判定，以及勾股定理等知識．此題難度不大，解題的關鍵是數形結合思想的應用與輔助線的作法．