Question

在平面直角坐標系中，點A（10，0）、B（6，8），點P是線段OA上一動點（不與點A、點O重合），以PA為半徑的⊙P與線段AB的另一個交點為C，作CD⊥OB于D（如圖1）．

（1）①OB=

10

； ②sin∠BOA=

0.8

；③求證：CD是⊙P的切線；
（2）當⊙P與OB相切時，求⊙P的半徑；
（3）在（2）的條件下，設⊙P與OB相切于點E，連接PB交CD于F（如圖2）．求CF的長．

Answer 1

分析：（1）①根據兩點間的距離公式可以求得OB的長度；
②如圖1，過點B作BN⊥OA于點H，則由三角函數的定義進行解答；
③如圖1，連接PC，欲證CD是⊙P的切線，只需證明PC⊥CD即可；
（2）如圖2，過B作BN⊥x軸于點N，設圓P的半徑為r．根據切線的性質知PE⊥OE，所以在Rt△OPE和Rt△OBN中，利用∠BON的正弦函數的定義列出關于r的比例式

r

10-r

=

4

5

，由此可以求得r的值；
（3）如圖3，由正方形PCDE的四條邊相等知DE=DC=r，則BD=OB-OE-DE．然后將其代入相似三角形（△BDF∽△PCF）的對應邊成比例的比例式

BD

PC

=

DF

CF

中，從而求得CF的值．

解答：解：（1）①∵B（6，8），
∴OB=

62+82

=10．
故填：10；
②如圖1，過點B作BH⊥OA于點H．則BH=8．故sin∠BOA=

BN

OB

=

8

10

=0.8．
故填：0.8；
③證明：如圖1，連接PC．
∵PC=PA（⊙P的半徑），
∴∠1=∠2（等邊對等角）．
∵A（10，0），由①知OB=10，
∴OA=OB=10，
∴∠OBA=∠1（等邊對等角），
∴∠OBA=∠2（等量代換），
∴PC∥OB（同位角相等，兩直線平行）．
∵CD⊥OB，
∴CD⊥PC，
∴CD為⊙P的切線；

（2）如圖2，過B作BN⊥x軸于點N，設圓P的半徑為r．
∵⊙P與OB相切于點E，則OB⊥PE，OA=10，
∴在Rt△OPE中，sin∠EOP=

PE

OP

=

r

10-r

，
在Rt△OBN中，sin∠BON=

BN

OB

=

8

10

=

4

5

，
則

r

10-r

=

4

5

，
解得：r=

40

9

；

（3）如圖3，∵由（2）知r=

40

9

，
∴在Rt△OPE中，OE=

OP2-PE2

=

10

3

（勾股定理），
∵∠PCD=∠CDE=∠PED=90°，
∴四邊形PCDE是矩形．
又∵PE=PC（⊙O的半徑），
∴矩形PCDE是正方形，
∴DE=DC=r=

40

9

，
∴BD=OB-OE-DE=10-

10

3

-

40

9

=

20

9

．
∵∠BFD=∠PFC，∠PEO=∠PCF=90°，
∴△BDF∽△PCF，
∴

BD

PC

=

DF

CF

，即

20 9

40 9

=

40 9 -CF

CF

，
解得CF=

80

27

，即CF的長度是

80

27

．

點評：本題考查了圓的綜合題．解題時，注意“數形結合”數學思想的應用．在證明（3）時，巧妙的運用了旋轉的性質，切線的性質求得EG的長度．