Question

（2009•荊州）如圖，AB是半圓O的直徑，C為半圓上一點，N是線段BC上一點（不與B﹑C重合），過N作AB的垂線交AB于M，交AC的延長線于E，過C點作半圓O的切線交EM于F．
（1）求證：△ACO∽△NCF；
（2）NC：CF=3：2，求sinB的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據直徑所對的圓周角是直角和切線的性質定理得∠ACB=∠OCF=90°；根據同角的余角相等得∠ACO=∠NCF；根據同角的余角相等和對頂角相等發現∠CNF=∠BNM=∠A；由此可證得△ACO∽△NCF．
（2）根據（1）中相似三角形的對應邊的比相等得到AC：AO=3：2，進一步得到AC、AB的比例關系，從而求得sinB的值．
解答：（1）證明：∵AB為⊙O直徑，
∴∠ACB=90°，
∴EM⊥AB，
∴∠A=∠CNF=∠MNB=90°-∠B．
∵CF為⊙O切線，
∴∠OCF=90°．
∴∠ACO=∠NCF=90°-∠OCB，
∴△ACO∽△NCF．

（2）解：由△ACO∽△NCF得：．
在Rt△ABC中，sinB=．
點評：本題主要考查圓周角定理、切線的性質、相似三角形的判定和性質等知識的綜合應用能力．