Question

如圖，平面直角坐標系中，四邊形OABC為矩形，點A、B的坐標分別為（3，0）、（3，4），動點M、N分別從O、B同時出發，以每秒1個單位的速度運動。其中，點M沿OA向終點A運動，點N沿BC向終點C運動。過點N作NP⊥BC，交AC于點P，連結MP。已知動點運動了秒。
（1）P點的坐標為（___，___）；（用含的代數式表示）
（2）試求△MPA面積的最大值，并求此時的值；
（3）請你探索：當x為何值時，△MPA是一個等腰三角形？你發現了幾種情況？寫出你的研究成果。

Answer 1

解：（1）（3-x，）；
（2）設△MPA的面積為S，
在△MPA中，MA=3-x，MA邊上的高為，
其中0≤x≤3，
∴
∴ S的最大值為，此時；
（3）延長NP交x軸于Q，則有PQ⊥OA
① 若MP=PA
∵PQ⊥MA
∴MQ=QA=x
∴3x=3
∴x=1；
② 若MP=MA，則MQ=3-2x，，PM=MA=3-x
在Rt△PMQ中，
∵
∴
∴
③ 若PA=AM
∵PA=，AM=
∴
∴
綜上所述，x=1，或，或。