Question

已知：如圖所示的一張矩形紙片ABCD（AD＞AB），將紙片折疊一次，使點A與點C重合，再展開，折痕EF交AD邊于點E，交BC邊于點F，分別連接AF和CE．
（1）求證：四邊形AFCE是菱形；
（2）若AE=10cm，△ABF的面積為24cm²，求△ABF的周長．

Answer 1

【答案】分析：（1）由四邊形ABCD是矩形與折疊的性質，易證得△AOE≌△COF，即可得AE=CF，則可證得四邊形AFCE是平行四邊形，又由AC⊥EF，則可證得四邊形AFCE是菱形；
（2）由已知可得：S_△ABF=AB•BF=24cm²，則可得AB²+BF²=（AB+BF）²-2AB•BF=（AB+BF）²-2×48=AF²=100（cm²），則可求得AB+BF的值，繼而求得△ABF的周長．
解答：解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
由折疊的性質可得：OA=OC，AC⊥EF，
在△AOE和△COF中，
∵，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，
∵AC⊥EF，
∴四邊形AFCE是菱形；

（2）∵四邊形AFCE是菱形，
∴AF=AE=10cm，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∴S_△ABF=AB•BF=24cm²，
∴AB•BF=48（cm²），
∴AB²+BF²=（AB+BF）²-2AB•BF=（AB+BF）²-2×48=AF²=100（cm²），
∴AB+BF=14（cm）
∴△ABF的周長為：AB+BF+AF=14+10=24（cm）．
點評：此題考查了折疊的性質、矩形的性質、菱形的判定與性質以及勾股定理等知識．此題難度較大，注意折疊中的對應關系，注意掌握數形結合思想的應用．