Question

如圖，PA、PB分別與⊙O相切于點A、B，點M在PB上，且OM∥AP，MN⊥AP，垂足為N．
（1）求證：OM=AN；
（2）若⊙O的半徑R=3，PA=9，求OM的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OA，由切線的性質可知OA⊥AP，再由MN⊥AP可知四邊形ANMO是矩形，故可得出結論；
（2）連接OB，則OB⊥BP由OA=MN，OA=OB，OM∥AP．可知OB=MN，∠OMB=∠NPM．故可得出Rt△OBM≌△MNP，OM=MP．
設OM=x，則NP=9-x，在Rt△MNP利用勾股定理即可求出x的值，進而得出結論．
解答：（1）證明：如圖，連接OA，則OA⊥AP，
∵MN⊥AP，
∴MN∥OA，
∵OM∥AP，
∴四邊形ANMO是矩形，
∴OM=AN；

（2）解：連接OB，則OB⊥BP
∵OA=MN，OA=OB，OM∥AP．
∴OB=MN，∠OMB=∠NPM．
∴Rt△OBM≌Rt△NPM，
∴OM=MP．
設OM=x，則NP=9-x，
在Rt△MNP中，有x²=3²+（9-x）²
∴x=5，即OM=5．
點評：本題考查的是切線的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理及矩形的判定與性質，在解答此類題目時往往連接圓心與切點，構造出直角三角形，再根據直角三角形的性質解答．