Question

【題目】如圖，一小球從斜坡O點處拋出，球的拋出路線可以用二次函數y=﹣x2+4x刻畫，斜坡可以用一次函數y= x刻畫．

（1）請用配方法求二次函數圖象的最高點P的坐標；
（2）小球的落點是A，求點A的坐標；
（3）連接拋物線的最高點P與點O、A得△POA，求△POA的面積；
（4）在OA上方的拋物線上存在一點M（M與P不重合），△MOA的面積等于△POA的面積．請直接寫出點M的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得，y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，

故二次函數圖象的最高點P的坐標為（2，4）

（2）解：聯立兩解析式可得： ，

解得： ，或 ．

故可得點A的坐標為（ ， ）

（3）解：如圖，作PQ⊥x軸于點Q，AB⊥x軸于點B．

S△POA=S△POQ+S梯形PQBA﹣S△BOA

= ×2×4+ ×（ +4）×（ ﹣2）﹣ × ×

=4+ ﹣

=

（4）解：過P作OA的平行線，交拋物線于點M，連結OM、AM，則△MOA的面積等于△POA的面積．

設直線PM的解析式為y= x+b，

∵P的坐標為（2，4），

∴4= ×2+b，解得b=3，

∴直線PM的解析式為y= x+3．

由 ，解得 ， ，

∴點M的坐標為（ ， ）．

【解析】（1）利用配方法可配成頂點式；（2）A點的坐標可通過求拋物線與直線解析式聯立的方程組的解即可；（3）“斜三角形”面積可通過作垂線轉化為“豎直三角形”的面積和；（4）底邊公用的三角形面積相等可逆向思維，可由“平行線所夾的底邊共用三角形面積相等”得到直線PMOA，求出PM解析式與拋物線的交點，即可求出M坐標.